Correction Exercice 2 $\vec{v}=-2, 1\vec{u}$ donc les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. $-2\times 7, 4-3\times 5=-29, 8\neq 0$: les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires. Exercice 3 On considère les points $A(-1;3), B(1;2), C(-5;1)$ et $D(1;-2)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles? Correction Exercice 3 $\vect{AB}\left(1-(-1);2-3\right)$ soit $\vect{AB}(2;-1)$ $\vect{CD}\left(1-(-5);-2-1\right)$ soit $\vect{CD}(6;-3)$. On a donc $\vect{CD}=3\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires. Par conséquent, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Exercice 4 Les points $A(-2;-1), B(1;0)$ et $C(6;1)$ sont -ils alignés? Correction - Exercice 4 $\vect{AB}\left(1-(-2);0-(-1)\right)$ soit $\vect{AB}(3;1)$. $\vect{AC}\left(6-(-2);1-(-1)\right)$ soit $\vect{AC}(8;2)$. On a donc $3\times 2-1\times 8=6-8=-2\neq 0$. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Exercices corrigés vecteurs 1ere s inscrire. Les points $A, B$ et $C$ ne sont donc pas alignés. Exercice 5 On considère les vecteurs $\vec{u}(2;-3), \vec{v}(5;7)$ et $\vec{w}(2;0)$.
a. Déterminer les coordonnées des points $A, C, E$ et $D$ dans ce repère. b. Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles? Justifier. Correction Exercice 6 a. Dans ce repère, on a: $A(0;0)$, $B(1;0)$ $C(0;1)$ $\begin{align*} \vect{AD}&=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{CB} \\ &=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\left(\vect{CA}+\vect{AB}\right) \\ &=\dfrac{5}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}\\ &=2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB} \end{align*}$ Donc $D\left(\dfrac{1}{2};2\right)$. Devoirs de première S 2011-2012. $\begin{align*} \vect{AE}&=\vect{AC}+\vect{CE} \\ &=\vect{AC}-2\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB} \\ &=-\vect{AC}+\dfrac{1}{2}\vect{AB} Donc $E\left(\dfrac{1}{2};-1\right)$ b. On a alors $\vect{DE}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2};-1-2\right)$ soit $\vect{DE}(0;-3)$. Cela signifie donc que $\vect{DE}=-3\vect{AC}$. Ces deux vecteurs sont donc colinéaires et les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont parallèles. $\quad$
Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=4$ ou encore $y-4=0$. La droite $d$ est parallèle à la droite $(AB)$ et passe par le point $C(0;0)$. Une équation cartésienne de $d$ est donc $y=0$. $\vect{AB}(-3;-7)$ On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{CM}(x-5;y+3)$ et $\vect{AB}(-3;-7)$ sont colinéaires. $\ssi -7(x-5)-(-3)(y+3)=0$ $\ssi -7x+35+3y+9=0$ $\ssi -7x+3y+44=0$ Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $-7x+3y+44=0$. $\vect{AB}(-1;-1)$ On considère un point $M(x;y)$. Exercices corrigés vecteurs 1ères rencontres. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{CM}(x-1;y-1)$ et $\vect{AB}(-1;-1)$ sont colinéaires. $\ssi -(x-1)-(-1)(y-1)=0$ $\ssi -x+1+y-1=0$ $\ssi -x+y=0$ Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $-x+y=0$. $\vect{AB}(4;4)$ On considère un point $M(x;y)$. $M$ est un point de la droite $d$ si, et seulement si, les vecteurs $\vect{CM}(x-1;y-4)$ et $\vect{AB}(4;4)$ sont colinéaires. $\ssi 4(x-1)-4(y-4)=0$ $\ssi 4x-4-4y+16=0$ $\ssi 4x-4y+12=0$ $\ssi x-y+3=0$ Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $x-y+3=0$.
Exercice 1 Soit $ABC$ un triangle quelconque. On place: le point $P$ symétrique de $A$ par rapport à $B$, le point $Q$ symétrique de $B$ par rapport à $C$, le point $R$ symétrique de $C$ par rapport à $A$. On appelle $I$ le milieu de $[BC]$ et $K$ le milieu de $[PQ]$. On appelle $G$ et $H$ les entres de gravité des triangles $ABC$ et $PQR$. On choisit le repère $\left(A;\vect{AB}, \vect{AC}\right)$. Exercices corrigés vecteurs 1ere s online. Déterminer les coordonnées des points $A, B$ et $C$. $\quad$ Déterminer les coordonnées du point $I$, puis celles du point $G$. Déterminer les coordonnées des points $R, P, Q$ et $K$. Démontrer que les points $G$ et $H$ sont confondus. Correction Exercice 1 Dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AC}\right)$ les coordonnées des différents points sont: $$A(0;0) \qquad B(1;0) \qquad C(0;1)$$ $I$ est le milieu de $[BC]$ donc ses coordonnées sont: $$\begin{cases} x_I = \dfrac{0+1}{2} = \dfrac{1}{2} \\\\y_I = \dfrac{1+0}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$$ $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
Vecteurs et coordonnées Dans les exercices où ce ne sera pas spécifié on placera dans un repère $\Oij$. Exercice 1 Placer les points $M, N$ et $P$ tels que: $\vect{AM}=\vect{NB}=\vect{CP}=\vec{u}$ $\quad$ Correction Exercice 1 [collapse] Exercice 2 On donne $A(5;-6)$, $\vec{u}=-\vec{i}+2\vec{j}$, $\vec{v}=\vec{i}-2\vec{j}$, $\vec{w}=4\vec{i}+2\vec{j}$ et $\vec{r}=-4\vec{i}-2\vec{j}$. Placer les points $M, N, P$ et $Q$ tels que $\vect{AM}=\vec{u}$, $\vec{AN}=\vec{v}$, $\vect{AP}=\vec{w}$ et $\vect{AQ}=\vec{r}$. Vecteurs et droites du plan : exercices de maths en 1ère en PDF.. Quelle est la nature du quadrilatère $MNPQ$? Correction Exercice 2 $\vect{MP}=\vect{MA}+\vect{AP}$ $=-\vec{u}+\vec{w}$ $=\vec{i}-2\vec{j}+4\vec{i}+2\vec{j}$ $=5\vec{i}$$\vect{QN}=\vect{QA}+\vect{AN}$ $=-\vec{r}+\vec{v}$ $=4\vec{i}+2\vec{j}+\vec{i}-2\vec{j}$ $=5\vec{i}$Ainsi $\vect{MP}=\vect{QN}$. $MNPQ$ est un parallélogramme. $\vect{MQ}=\vect{MA}+\vect{AQ}$ $=-\vec{u}+\vec{r}$ $=\vec{i}-2\vec{j}-4\vec{i}-2\vec{j}$ $=-3\vec{i}-4\vec{j}$Ainsi $MQ=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$ Or $MP=\sqrt{5^2+0^2}=5$Le parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur.
Calculs (révisions) Dans toutes cette fiche d'exercice on se placera dans un repère $\Oij$ du plan. Exercice 1 On donne les points $A(5;-1)$, $R(-2;0)$ et $F\left(\dfrac{3}{2};-\dfrac{1}{4}\right)$. Calculer les coordonnées des vecteurs suivants: $\vect{AR}, \vect{FA}, \vect{RF}, 3\vect{AF}, -2\vect{AR}+4\vect{RF}$. $\quad$ Correction Exercice 1 $\vect{AR}\left(-2-5;0-(-1)\right)$ soit $\vect{AR}(-7;1)$ $\vect{FA}\left(5-\dfrac{3}{2};-1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right)$ soit $\vect{FA}\left(\dfrac{7}{2};-\dfrac{3}{4}\right)$ $\vect{RF}\left(\dfrac{3}{2}-(-2);-\dfrac{1}{4}-0\right)$ soit $\vect{RF}\left(\dfrac{7}{2};-\dfrac{1}{4}\right)$ $3\vect{AF}=-3\vect{FA}$ donc $3\vect{AF}\left(-\dfrac{21}{2};\dfrac{9}{4}\right)$. Par conséquent $-2\vect{AR}+4\vect{RF} (14+14;-2-1)$ d'où $-2\vect{AR}+4\vect{RF}(28;-3)$ [collapse] Exercice 2 On donne les vecteurs $\vec{u}(-2;3)$, $\vec{v}(4, 2;-6, 3)$ et $\vec{w}(5;7, 4)$. 1S - Exercices corrigés - Les vecteurs - Fiche 1. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils colinéaires? Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ sont-ils colinéaires?
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