Bien entendu, si P(0) n'existe pas, on prend P(1) et non P(0). Le raisonnement par récurrence par les exemples C'est bien connu, rien ne vaut des exemples pour comprendre la théorie… Le raisonnement par récurrence: propriété d'égalité Nous allons considérer la propriété suivante: P( n): \(1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2 + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\). Somme des n carrés des premiers entiers naturels. Nous allons la démontrer par récurrence. Initialisation La première étape est de constater que cette propriété est vraie pour le premier entier n possible. Ici, c'est n = 1. Quand il s'agit de démontrer une égalité, il faut calculer les deux membres séparément et constater qu'ils sont égaux. Pour n = 1: le membre de gauche est: 1² = 1; le membre de droite est: \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}=\frac{1\times2\times3}{6}=1\). On constate alors que les deux membres sont égaux. Par conséquent, l'égalité est vraie pour n = 1. P(1) est donc vraie. On dit alors que l'initialisation est réalisée.
Introduction En mathématiques, le raisonnement par récurrence est une forme de raisonnement visant à démontrer une propriété portant sur tous les entiers naturels. Le raisonnement par récurrence consiste à démontrer les points suivants: Une propriété est satisfaite par l'entier 0; Si cette propriété est satisfaite par un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l'article « Nombre... ) entier naturel (En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement... ) n, alors elle doit être satisfaite par son successeur, c'est-à-dire, le nombre entier n +1. Une fois cela établi, on en conclut que cette propriété est vraie pour tous les nombres entiers naturels. Présentation Le raisonnement par récurrence établit une propriété importante liée à la structure des entiers naturels: celle d'être construits à partir de 0 en itérant le passage au successeur. Dans une présentation axiomatique des entiers naturels, il est directement formalisé par un axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma,... ).
Inscription / Connexion Nouveau Sujet Bonjour, pourriez-vous me donner les pistes pour faire cet exercice s'il vous plait, car je ne voit pas du tout comment commencer à le résoudre: n q 2 est la somme des carrés des n premiers entiers naturels non nuls.
Théorème. Pour tout entier naturel $n\geqslant n_0$, on considère la proposition logique $P_n$ dépendant de l'entier $n. $ Pour démontrer que « Pour tout entier $n\geqslant n_0$, $P_{n_0}$ est vraie » il est équivalent de démontrer que: 1°) $P_{n_0}$ est vraie [ Initialisation]; 2°) Pour tout entier $n\geqslant n_0$: [$P_{n}\Rightarrow P_{n+1}$] [ Hérédité]. 3. Exercices résolus Revenons à notre exemple n°1. Exercice résolu n°2. (Facile) Démontrer que pour tout entier naturel n, on a: $2^n> n$. Exercice résolu n°3. Soit $a$ un nombre réel strictement positif. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a: $(1+a)^n\geqslant 1+na$. Cette inégalité s'appelle Inégalité de Bernoulli. Exemple 4. Démontrez que pour tout entier non nul $n$, la somme des n premiers nombres entiers non nuls, est égale à $\dfrac{n(n+1)}{2}$. Exercice résolu 4. 4. Exercices supplémentaires pour progresser Exercice 5. Démontrez que pour tout entier naturel $n$: « $7^{2n}-1$ est un multiple de $5$ ». Exercice 6. Démontrez que pour tout entier naturel $n$: « $\dsum_{k=0}^{k=n} k^2 =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ».